Would you ～?もCould you ～?も意味は同じで、「～してもらえますか？」「～してもらってもいい？」といった意味になります。
Will you ～？は相手に何かをする意思があるかどうかを尋ねる場合に用いられる事が多いので、依頼文には使わない方が無難です。例えばタクシーに乗ったときに運転手に「急いでもらえますか？」と言う場合、もしWill you hurry?と尋ねたらまず間違いなく嫌な顔をされます。この場合は「ちょっと、急いでくれよ、まったく」とか「急ぐ気あるんか、おいっ」という意味にとられてしまいます。
また、Can you ～？は場合によってはこちらの方が好ましい場合もあります。例えば相手に手伝いを求める場合、Could you help me?は相手の能力や都合はおかまいなしに一方的にお願いするニュアンスがあります。この場合はCan you help me?の方が相手が断りやすい、思いやりのある言い方になります。
その他の一般的な依頼は先述のWould youまたはCould　youを用いて問題ありません。
Would you like ～？はDo you want ～?の丁寧な表現で、「～はいかがですか？」と所望の有無を尋ねる時に使います。いわゆる大人の表現です。
また、Would you mind ～?は丁寧な表現ではありません。これはとげとげしい嫌味な言い方です。例えばWould you mind turning off the lights?は「電気ぐらい消したらどうなのよ」と言う意味になってしまいます。何かをやめて欲しい時にWould　you mind?（ちょっと、やめてくれない？）と３単語のみでも表現されます。